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Schritt für Schritt von Newton zu Einstein

Auf unserer Erde und überhaupt überall im Sonnensystem ist das Gravitationsfeld für kosmische Verhältnisse schwach. Darauf beruht, dass sich das Gravitationsfeld und als Folge davon auch die Bewegung der Himmelskörper des Sonnensystems mit Hilfe der Newtonschen Gravitationstheorie sehr gut beschreiben lassen. Nur über lange Zeiträume beobachtet weichen die Bewegungen der Himmelskörper gering von den Vorhersagen der Newtonschen Gravitationstheorie ab. So zeigt beispielsweise die Merkurbahn eine winzige Verschiebung des sonnennächsten Bahnpunktes, den die Newtonsche Gravitationstheorie nicht erklären kann. Diese so genannte anomale Periheldrehung beträgt nur 43 Bogensekunden im Jahrhundert. Erst Einstein ist mit seiner Gravitationstheorie, der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART), eine überzeugende Erklärung dieses Effekts gelungen.

Bei stärkerer Gravitation werden die Unterschiede deutlicher, und dann zeigt sich, dass Einsteins Theorie ihre Gültigkeit behält, während die Diskrepanzen zwischen der Newtonschen Theorie und den astronomischen Beobachtungen größer und größer werden. Ein Beispiel ist das im Jahre 2003 entdeckte Doppelpulsar-System PSR J0737-3029A/B, bestehend aus zwei umeinander kreisenden und dabei noch selbst rotierenden Neutronensternen. Die Bahnkurven dieser Pulsare zeigen einer der Periheldrehung des Merkur analoge Verschiebung, die allerdings beträchtliche 17 Winkelgrad im Jahr beträgt und damit rund hunderttausend Mal größer ist als beim Merkur! Hier müssen die Berechnungen im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie schon sehr genau durchgeführt werden, um mit der Beobachtungsgenauigkeit mithalten zu können.

Das beste beider Welten

Jede der beiden Theorien - die Einsteinsche und die Newtonsche - hat Vorteile und Nachteile. Mathematisch ist die Newtonsche Gravitationstheorie sehr viel einfacher als die Einsteinsche. Die Newtonsche Beschreibung zweier einander umkreisender Körper gelingt mit mathematischen Methoden, die heutzutage im Physikstudium Stoff der Anfängervorlesung sind. Im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie dagegen ist die exakte Beschreibung dieser Situation ein auch heute noch ungelöstes Problem.

Die Schwäche der Newtonschen Theorie ist bereits erwähnt worden. Ihre Vorhersagen etwa für die Bahnen von Himmelskörpern weichen von den wirklichen Verhältnissen ab - zunächst nur sehr wenig, doch mit der Zeit immer mehr. Im Falle eines Doppelpulsars etwa stimmen die Vorhersagen der Newtonschen Beschreibung nur für solche Zeiträume mit den Beobachtungen überein, die klein sind im Vergleich zu der Zeit, binnen derer die Neutronensterne einmal umeinander laufen. Für unser Sonnensystem kann die Newtonsche Gravitationstheorie dagegen über viel größere Abschnitte von Bahnumläufen der Himmelskörper Voraussagen treffen, die mit den tatsächlichen Beobachtungen verträglich sind.

Um die Vorteile beider Formulierungen nutzen zu können, haben Physiker ein Näherungsverfahren entwickelt, das mit der Newtonschen Gravitation beginnt und dann Schritt für Schritt die Korrekturen hinzufügt, die sich aus der vollständigeren Beschreibung der Allgemeinen Relativitätstheorie ergeben - so lassen sich Abweichungen der Einsteinschen von der Newtonschen Theorie mathematisch genau fassen. Das Ergebnis sind die überaus nützlichen so genannten post-Newtonschen Näherungen. Mit ihrer Hilfe lassen sich bestimmte Situationen beschreiben, deren exakte Modellierung im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie zur Zeit unmöglich ist, die aber andererseits Elemente (wie etwa Gravitationswellen) enthalten, welche der Newtonschen Theorie fremd sind. Eine Beispiel dafür ist die Beschreibung eines Doppelstern-Systems, das Gravitationswellen abstrahlt. Die Näherung ist zwar nicht auf alle denkbaren Situationen anwendbar (beispielsweise nicht auf Fragestellungen der Kosmologie), erweist sich aber für eine Vielfalt astrophysikalisch interessanter Situationen als wertvolles Werkzeug.

Eine Frage der Geschwindigkeiten

Wie lässt sich systematisch beurteilen, wann eine Situation hinreichend gut durch die Newtonsche Theorie beschrieben wird und wann Effekte der ART wichtig werden? Die entscheidende Größe, so zeigt sich, ist die Lichtgeschwindigkeit.

Wie in der Speziellen Relativitätstheorie ist die Lichtgeschwindigkeit auch in der ART für alle Körper und Teilchen, die eine Masse besitzen, eine obere Geschwindigkeitsgrenze. Andererseits: Um Teilchen auf hohe Geschwindigkeiten zu beschleunigen, müssen Kräfte wirken. In der Elektrodynamik und auch in der Gravitationstheorie lässt sich außerdem der Begriff der Potentials einführen. Er ist eng mit dem Begriff der Energie verknüpft; im Falle der Gravitation etwa ist der Gewinn an Bewegungsenergie eines Testteilchens, das sich von einem ferneren Ort A näher zu einer Masse hinbewegt, nämlich zum Ort B, die Differenz der zu den Orten B und A gehörigen Potentialwerte, malgenommen mit der Masse des Testteilchens.

Auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie lässt sich eine Art Potential definieren, das im Grenzfall schwacher Gravitation in das Newtonsche Gravitationspotential übergeht (tatsächlich gibt es sogar mehr als eine Möglichkeit für diese Definition). Der Potentialausdruck ist eng mit dem Einfluss der Gravitation auf den Gang von Uhren und die Frequenz von Licht verknüpft. Seine physikalische Dimension ist genau wie bei Newton "Geschwindigkeit zum Quadrat". Der Potentialwert für Orte, die unendlich weit von allen Massen und sonstigen Gravitationsquellen des betrachteten Systems entfernt sind, wird dabei üblicherweise zu Null gesetzt. Unter dieser Voraussetzung zeigt sich, dass es auch für den Betrag des Gravitationspotentials eine absolute Obergrenze gibt. Für eine der möglichen Definitionen des Potentials ist diese Obergrenze das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit, dividiert durch zwei (die Division durch zwei ist Folge der Definition des Begriffs "Gravitationspotential" in der Newtonschen Theorie).

Nach diesen Vorüberlegungen lässt sich genauer angeben, unter welchen Voraussetzungen die Newtonsche Theorie in guter Näherung die gleichen Vorhersagen ergibt wie die Einsteinsche: dann nämlich, wenn die Gravitationspotentiale sehr klein sind im Vergleich zu ihrem Maximalbetrag, Lichtgeschwindigkeitsquadrat durch zwei, und wenn die Geschwindigkeiten aller beteiligten Teilchen klein sind im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.

Schritt für Schritt von Newton zu Einstein

Mit diesen Überlegungen im Hinterkopf gelangt man wie folgt zu den post-Newtonschen Näherungen: Kernstück der ART sind die Einsteingleichungen, die den Zusammenhang zwischen der Geometrie der Raumzeit und bestimmten Eigenschaften - etwa der Masse - der anwesenden Materie beschreiben. Haben wir es mit einer Situation zu tun, in der eine Reihe voneinander abgrenzbarer Körper über die Gravitation aufeinander wirken, dann legen die Einsteingleichungen unter anderem fest, wie die Körper sich unter dem gegenseitigen Gravitationseinfluss bewegen. Mit den Worten der Physiker ausgedrückt folgen aus den Einsteingleichungen die Bewegungsgleichungen der betreffenden Körper.

Die Einsteingleichungen führen im Allgemeinen zu sehr komplizierten Ausdrücken, und in der Regel wird es nicht möglich sein, exakt abzuleiten, wie die Bewegung solcher Körper von statten geht. Allerdings gibt es für vergleichsweise kleine Geschwindigkeiten und dementsprechend kleine Gravitationspotentialdifferenzen eine Möglichkeit, die Bewegungsgleichungen in einer ganz speziellen Art und Weise hinzuschreiben - als Summe verschiedener Beiträge nämlich, vor denen jeweils eine bestimmte Potenz der inversen Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat steht. In einigen davon kommt die Lichtgeschwindigkeit gar nicht (anders ausgedrückt: in der nullten Potenz) vor; vor anderen Termen steht 1/c² mit c als der Lichtgeschwindigkeit ist das gerade die erste Potenz des Ausdrucks "eins durch Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat", während ein Term 1/c4 die zweite Potenz enthält, und entsprechend bei höheren Potenzen. Allerdings kommen in den weiteren Termen auch ungerade Potenzen vor, nämlich 1/c5 und so weiter.

Diejenigen Terme, in denen die Lichtgeschwindigkeit gar nicht vorkommt, führen zu den Gleichungen der Newtonschen Gravitationstheorie. Alle weiteren Terme liefern Korrekturen zur Newtonschen Theorie, und zwar Schritt für Schritt. Angenommen, v sei eine typische Geschwindigkeit der betreffenden Körper. Wir hatten angenommen diese Geschwindigkeiten seien im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit sehr klein, anders ausgedrückt: Der Bruch v/c ist viel kleiner als eins. Deshalb sind offensichtlich Terme z.B. der Ordnung (v²/c²)² viel größer als Terme der Ordnung (v²/c²)4. Dasselbe gilt entsprechend für das Verhältnis der Gravitationspotentiale zum Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.

Damit können die Physiker bei der Modellierung von Körpern unter gegenseitigem Gravitationseinfluss gezielte Kompromisse eingehen. In vielen Situationen beispielsweise ist die Gravitation im Vergleich zum maximal möglichen Wert so schwach, dass es ausreicht, lediglich alle Terme bis zur ersten Potenz von 1/c² zu berücksichtigen und so die Rechnungen beträchtlich zu vereinfachen. In diesem Falle spricht man von der ersten post-Newtonschen Näherung (1pN); allgemeiner gilt: werden alle Terme bis einschließlich der n-ten Potenz von 1/c² berücksichtigt, handelt es sich um die n-te post-Newtonsche Näherung (npN).

Die Bedeutung der einzelnen Schritte

Die "nullte post-Newtonsche Näherung" entspricht, wie gesagt, der Newtonschen Physik. Hier folgt im Fall etwa eines Zweikörpersystems die Bewegung der beiden Körper den seit langem bekannten Keplerschen Gesetzen. Jede zusätzlich berücksichtigte Klasse von Termen bringt die Physiker von der Newtonschen Theorie aus einen Schritt weiter in Richtung Allgemeiner Relativitätstheorie.

Die erste Abweichung von den Newtonschen Bewegungsgleichungen ist die Näherung 1pN. Ihre Korrekturterme beschreiben bereits eine Reihe der klassischen Effekte der Allgemeinen Relativitätstheorie. Dazu gehört zum einen die anomale Periheldrehung (und ihr Analogon bei Doppelsternen) und die so genannte de Sitter-Präzession - winzige, periodische Änderungen in der relativen Orientierung der Bahnebenen des Systems Erde-Mond und des Systems Sonne-Erde.

Außerdem kann man mit den Gravitationspotentialen, die in die Bewegungsgleichungen der 1pN-Näherung eingehen, die Lichtausbreitung in Gravitationsfeldern mit 1pN Genauigkeit berechnen. Hieraus resultiert dann die berühmte Lichtablenkung, die erstmals 1919 während einer Sonnenfinsternis gemessen wurde. Auch die Shapirosche Laufzeitverzögerung von Lichtsignalen in Gravitationsfeldern, die erstmals 1964 mit an der Venus reflektierten Radarsignalen gemessen wurde, wird von dieser Beschreibung erfasst. Ebenso beschreibt die 1pN-Näherung bereits Auswirkungen der Rotation einer Masse auf Kreisel, Umlaufbahnen und Lichtausbreitung in ihrer Umgebung - Effekte des so genannten Gravitomagnetismus.

Die zweite Abweichung 2pN führt auf keine qualitativ neuen Phänomene, gestattet es aber, die bereits erwähnten Effekte mit höherer Genauigkeit zu berechnen.

In der Newtonschen Beschreibung sowie bei 1pN und 2pN gilt: Ist das System isoliert - man denke an das Idealbild zweier sich umkreisender Neutronensterne in einem ansonsten leeren Kosmos -, dann bleibt seine Gesamtenergie unverändert. Das ändert sich allerdings mit der Näherung 2.5pN. Ab dieser Näherung wird auch die Rückwirkung der ausgesandten Gravitationswellen berücksichtigt, also der Umstand, dass beispielsweise ein Doppelsternsystem durch Abstrahlung von Gravitationswellen Energie verliert und die Sterne sich deswegen mit der Zeit gegenseitig immer näher kommen. Dieser Effekt liegt dem ersten indirekten Nachweis von Gravitationswellen anhand des Binärpulsars PSR 1913+16 zugrunde, der erstmals im Jahre 1978 gelang.

Anschließend kommt wieder eine Stufe mit Korrekturtermen, welche die Gesamtenergie des Systems nicht weiter beeinflussen, 3pN, und dann die nächste Stufe, in der die neuen Korrekturterme einen Energieverlust bewirken, 3.5pN. Für zwei sich umkreisende sehr kompakte Objekte wie Neutronensterne und/oder Schwarze Löcher können die Terme bis zu dieser Ordnung explizit berechnet werden. Wichtig sind diese Ordnungen nur für die Gravitationswellenastronomie, denn nur durch die Vermessung der abgestrahlten Gravitationswellen wird es möglich sein, Messdaten über die Bewegungen von Doppelsternsystemen zu gewinnen, deren Genauigkeit eine so präzise theoretische Beschreibung erfordert.

Ab der Stufe 4pN gestalten sich die post-Newtonschen Reihen als sehr kompliziert. Physikalischer Hintergrund dazu ist, dass es nun zu berücksichtigen gilt, wie die Gravitationswellen ihrerseits von der Gravitation beeinflusst werden. Ab hier treten die entsprechenden Potenzen von 1/c² auch nicht mehr nur als Vorfaktoren auf, sondern als Argumente von Logarithmusfunktionen. Hier beginnt das Reich der so genannten verallgemeinerten post-Newtonschen Näherungen, auf die wir hier aber nicht eingehen wollen.

Der Vollständigkeit halber sei aber noch angefügt, dass auch bei der Beschreibung von Gravitationswellen davon gesprochen wird, eine bestimmte Welle sei "von n-ter post-Newtonscher Näherung". Gemeint ist dann, dass bei der Beschreibung des Systems von Körpern, das diese Gravitationswelle erzeugt hat, die n-te post-Newtonsche Näherung angewandt wurde.

Was ist mit Schwarzen Löchern?

Der aufmerksame Leser wird bemerkt haben, dass wir bereits kurz den Fall sich umkreisender Schwarzer Löcher angesprochen haben, und er mag sich gewundert haben, wie das zusammenpasst: Sind Schwarze Löcher nicht die stärksten Gravitationsquellen überhaupt? Kann man sie dann überhaupt im Rahmen einer Näherung beschreiben, die ausnutzt, dass die Gravitationswirkungen vergleichsweise schwach sind?

Die Antwort ist: Nein und Ja. Wenn wir die unmittelbare Nachbarschaft des Schwarzen Loches beschreiben wollen, etwa seinen Horizont, dann greift die post-Newtonsche Näherung in der Tat zu kurz, und man muss ganz im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie rechnen.

Anders ist die Lage, wenn uns nur interessiert, wie das Schwarze Loch das Weltgeschehen aus der Ferne beeinflusst - etwa wenn es um zwei Schwarze Löcher geht, die sich in einiger Entfernung umkreisen. Genau wie in der Newtonschen Theorie nimmt die Stärke der Gravitationswirkung auch bei Einstein mit zunehmendem Abstand schnell ab; wenn die Schwarzen Löcher soweit voneinander entfernt sind, dass sie vom jeweils anderen Loch nurmehr eine relativ schwache Gravitationswirkung erfahren, dann lässt sich ihre Relativbewegung im Rahmen der post-Newtonschen Näherungen gut beschreiben.

Auch die Bahngeschwindigkeiten sich umkreisender Schwarzer Löcher können als Entscheidungskriterium dienen: Schwarze Löcher, die sich extrem eng umkreisen, bewegen sich dabei mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit - ein klarer Hinweis darauf, dass sich die post-Newtonschen Näherungen hier nicht sinnvoll anwenden lassen. Bei Schwarzen Löchern, die weiter voneinander entfernt kreisen, ist dagegen auch die Bahngeschwindigkeit klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.

Anwendungen

Die wichtigste unter den post-Newtonschen Näherungen ist die erste Näherung (1pN) - die Korrekturen, die sie beinhaltet, sind am größten und damit am einfachsten messbar. Dementsprechend spielt die Näherung 1pN im Sonnensystem mit seinen vielfältigen Beobachtungsmöglichkeiten die dominante Rolle. Auf ihr basieren beispielsweise die modernen Ephemeridenprogramme, mit deren Hilfe Computer die Bahndaten von Erdmond, allen Planeten und großen Asteroiden unseres Sonnensystems berechnen.

Auch das Global Positioning System (GPS) ist Nutznießer der 1pN-Näherung. Bei der derzeitigen Genauigkeit dieses Navigationssystems geht sie allerdings nur ein, wenn es gilt, die Gangunterschiede zwischen erdgestützten Uhren und den Borduhren der GPS-Satelliten zu berechnen.

Die Anwendungen der 1pN-Näherung in der Astrophysik von Neutronensternsystemen sind im Text bereits mehrmals angeklungen. Ein weiterer Anwendungsbereich ist die Gravitationslinsen-Astronomie - auch bei Rechnungen dazu, wie eine bestimmte Massenverteilung das Licht dahinterliegender Quellen ablenkt, und wie es demnach zu bestimmten Gravitationslinsenphänomenen kommt, kommt die 1pN-Näherung zum Einsatz.

Eine weitere Anwendung besteht darin, dass sich aus der 1pN-Näherung eine Verallgemeinerung entwickeln lässt, in deren Rahmen man quantitativ angeben kann, wie gut die Vorhersagen der Einsteinschen Theorie und ähnlicher Theorien mit Beobachtungen und Messungen übereinstimmen. Diesem so genannten "parametrisierten post-Newtonschen Formalismus" ist ein eigenes Vertiefungsthema gewidmet: Ein Prüfstand für die Allgemeine Relativitätstheorie.


Further Information

Hintergrundwissen zu diesem Vertiefungsthema bietet der Abschnitt Allgemeine Relativitätstheorie von Einstein für Einsteiger.

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