Lexikon

In einer zweidimensionalen Fläche: Kriterium, anhand dessen es sich entscheiden lässt, ob es sich bei der Fläche um eine Ebene handelt (d.h. ob darin die üblichen Regeln der in der Schule gelehrten Mathematik gelten) oder nicht. Zwei Möglichkeiten, die Krümmung einer Fläche zu definieren, sind die folgenden:

Erstens: Winkelsumme im Dreieck. In der Ebene beträgt die Summe der drei Winkel eines aus Geraden gebildeten Dreiecks immer 180 Grad. Auf einer allgemeineren Fläche kann die Winkelsumme für ein aus geradestmöglichen Linien (Geodäten) gebildetes Dreieck größer oder kleiner als 180 Grad sein. Die Abweichung, also der Winkelüberschuss oder das Winkeldefizit, die man üblicherweise noch durch die Fläche des Dreiecks teilt, sind ein Maß für die Krümmung der Fläche in der Region rund um das betrachtete Dreieck.

Zweitens: Kreisumfang. In der Ebene ist der Umfang eines Kreises gleich 2 mal Pi mal dem Kreisradius. Auf einer allgemeineren Fläche kann der Umfang größer oder kleiner sein. Die Abweichung, üblicherweise noch durch Radius-hoch-drei geteilt, führt zum gleichen Krümmungsmaß wie die Winkelsumme im ersten Dreieck.

Einfache Beispiele für gekrümmte Flächen sind die Kugelfläche (positive Krümmung, das heißt: Winkelsumme im Dreieck größer als 180 Grad, Kreisumfang kleiner als 2 mal Pi mal Radius) und die Sattelfläche (negative Krümmung, das heißt: Winkelsumme im Dreieck kleiner als 180 Grad, Kreisumfang größer als 2 mal Pi mal Radius).

Auch für höherdimensionale, allgemeine Räume lassen sich Krümmungsmaße definieren, die die Abweichung vom flachen Raum messen. Dabei ist allerdings mehr als eine Größe vonnöten, und die Krümmung wird zu einem mathematischen Kombinationsobjekt mit verschiedenen Komponenten.

Informationen zu den Arten der Raumkrümmung, die unser Weltall laut der kosmologischen Urknallmodelle aufweisen kann, bietet das Vertiefungsthema Die Form des Raums; wie man diese Krümmung anhand von Beobachtungen der kosmischen Hintergrundstrahlung nachweisen kann, erklärt das Vertiefungsthema Kosmischer Schall und die Krümmung des Raums.

In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie spielt die Krümmung der Raumzeit eine wichtige Rolle – sie ist direkt mit bestimmten Aspekten der Gravitation verknüpft, insbesondere mit so genannten Gezeitenkräften. Weitere Informationen hierzu bietet das Vertiefungsthema Gravitation: Vom Fahrstuhl zur Raumzeitkrümmung.