Rollentausch von Raum und Zeit

Wie Raum und Zeit im Inneren eines Schwarzen Lochs in gewisser Weise die Rollen tauschen – und wie dies zu der definierenden Eigenschaft Schwarzer Löcher führt: dass nichts aus ihnen entkommen kann.

Ein Artikel von Markus Pössel

Mit Hilfe von Modellvorstellungen im dreidimensionalen Raum – allerdings auch mit einigen Zusatzannahmen, die gewöhnungsbedürftig sind – lässt sich eine wichtige Eigenschaft Schwarzer Löcher verstehen, die direkt damit zusammenhängt, wie sich das Innere dieser Gebilde vom Rest des Weltalls abkapselt. Das erfordert allerdings einiges an Vorarbeit. Wir führen die einzelnen Elemente des vereinfachten Modells Schritt für Schritt ein.

Raum mit Achse

Beginnen wir mit einer ganz bestimmten Art und Weise, den Raum zu betrachten. In der Mitte des Raums zeichnen wir eine Achse ein, die im folgenden Bild als senkrechte blaue Linie erscheint:

Betrachten wir nun Objekte, die sich in diesem Raum bewegen. Wir können dabei drei verschiedene Arten von Bewegung unterscheiden. Bei der ersten, die wir axiale Bewegung nennen wollen, bewegt sich ein Objekt parallel zur blauen Achse, also im Bild entweder direkt nach oben oder direkt nach unten. Die zweite Sorte ist die radiale Bewegung, die direkt auf die blaue Achse zu oder von ihr wegführt. Die dritte Art von Bewegung wollen wir Winkelbewegung nennen. Ein Objekt, das eine reine Winkelbewegung ausführt, bewegt sich auf einer Kreisbahn rund um die blaue Mittelachse.

Wie immer sich ein Objekt durch den Raum bewegen mag: Stets können wir die drei unterschiedlichen Bewegungskomponenten unterscheiden. Indem wir nachmessen, welche Fortschritte das Objekt parallel zur Achse macht, können wir den axialen Bewegungsanteil bestimmen; durch Messung seines Abstandes von der Achse den radialen Anteil, und durch Bestimmung seiner Bewegung seitwärts senkrecht zur Achse den Anteil der Winkelbewegung.

Wir können diese drei Arten von Bewegung durch Pfeile darstellen, die der Bewegung eines Objekts folgen, das sich nur auf eine der drei Arten bewegt – also entweder nur radial, oder nur parallel zur Achse, oder nur in Winkelbewegung. Die folgende Abbildung zeigt einige Beispiele. Bewegung parallel zur Achse ist mit blauen Pfeilen dargestellt, radiale Bewegung rot, und Winkelbewegung türkis. Dabei schauen wir von etwas weiter oben hinunter auf die graue Ebene:

Falls Sie etwas unsicher sind, worum es bei radialer und bei Winkelbewegung geht, hilft Ihnen vielleicht das nächste Bild weiter. Darin schauen wir direkt von oben auf die graue Ebene. Die blaue Achse sehen wir dementsprechend nur im Querschnitt, also als kleinen blauen Punkt. Die blauen Pfeile, die Bewegung parallel zur Achse anzeigen, sind ausgeblendet, und nur die Pfeile der Radial- und Winkelbewegung sind sichtbar:

Aus dieser Blickrichtung ist deutlich, dass die roten Pfeile, welche die radiale Bewegung darstellen, in der Tat immer direkt zur Achse (oder direkt von ihr weg) zeigen, während Bewegung in die Winkelrichtung (türkis) jeweils einen Kreisabschnitt in den Raum zeichnet.

Von hier aus gesehen sind die Bezeichnungen, die ich gewählt habe, direkt verständlich. In so genannten Polarkoordinaten, wie sie die nachfolgende Abbildung zeigt, wird die Lage jedes Punktes der Ebene durch zwei Angaben beschrieben. Der Punkt P wird durch eine gerade Linie mit dem Nullpunkt verbunden; die Ortsangaben sind der Abstand r zwischen P und dem Nullpunkt entlang dieser Linie und der Winkel α, den die Linie mit einer vorher definierten Referenzlinie bildet:

Alle Punkte mit dem gleichen Wert für r liegen auf einem Kreis mit Radius r um den Nullpunkt. Dementsprechend heißt r Radialkoordinate. Radialbewegung verändert nur den Wert der Radialkoordinate eines Punktes, Winkelbewegung lediglich den Wert des Winkels α.

Verkehrsregeln

Bislang haben wir nichts weiter getan, als eine bestimmte Betrachtungsweise für Bewegungen im herkömmlichen dreidimensionalen Raum zu definieren. (Ein Mathematiker würde sagen: Wir haben Zylinderkoordinaten eingeführt.) Nun wollen wir diesen Bewegungen eine Beschränkung auferlegen, sozusagen eine Verkehrsregel einführen. Diese Regel besagt: Jedes Objekt muss sich zwingend axial in Aufwärtsrichtung bewegen.

Auch bei Beachtung dieser Regel haben wir immer noch eine ganze Reihe von Freiheiten. Objekte können sich nach wie vor zur Achse hin oder von ihr wegbewegen, oder aber ihren Abstand zur Achse konstant halten. Auch die Winkelbewegung ist nicht eingeschränkt. Wir fordern lediglich, dass jede Bewegung eine merkliche Komponente in Axialrichtung enthalten soll, so dass das Objekt weiter und weiter nach oben driftet. Hier sind einige Beispiele für mögliche Bewegungen:

Der Pfad mag gerade sein (türkis), gewellt (gelbe Linie) oder sich spiralförmig winden (lila) – all das ist uns egal, solange die Bewegung einen Anteil aufweist, der direkt nach oben zeigt.

Die Analogie

Warum diese willkürliche Regel? Wie in der Einleitung erwähnt, geht es hier um eine Analogie. In der wirklichen Welt soll der Achsenrichtung die Zeit entsprechen, und Achsenbewegung ist die „Bewegung der Objekte in der Zeit“ – mit anderen Worten: der Umstand, dass für alle Objekte Zeit vergeht. Radial- und Winkelbewegung entsprechen Änderungen des Ortes im Raum (oder, genauer gesagt, in der zweidimensionalen Ebene, die in unserer Analogie den Raum darstellt).

Was bedeutet das? Verfolgt man den Pfad eines Objekts von unten nach oben, dann verfolgt man seine zeitliche Entwicklung. Ändern sich der Abstand des Objekts vom Zentrum oder die Winkelkoordinate, dann haben wir es mit einem bewegten Objekt zu tun. In diesem Zusammenhang ist unsere Forderung, dass alle Pfade einen Anteil in der Aufwärtsrichtung aufweisen mögen recht naheliegend, denn sie sagt lediglich aus: Die Zeit vergeht für alle Objekte – es gibt keine Möglichkeit, an einem bestimmten Moment zu verweilen (und damit die Zukunft zu vermeiden) oder sich, noch schlimmer, rückwärts in der Zeit zu bewegen!

Mit dieser Zuordnung werden die oben gezeigten Bilder zu dem, was Physiker Raumzeit-Diagramme nennen.

Eine weitere Komplikation

Aber vergessen wir die Analogie für einen Augenblick, und gehen wir zurück zu unserem Raum mit Achsen-, radialer und Winkelbewegung. Wir führen ein neues Element ein: Eine Zylinderfläche, in der folgenden Abbildung in Blau eingezeichnet, deren Mittelachse unsere blaue Achse ist:

Außerdem verändern wir unsere Verkehrsregeln. Außerhalb der Zylinderfläche ist alles wie gehabt: Objekte können sich willkürlich bewegen, solange ihre Bewegung eine merkbare Aufwärtskomponente einschließt. Innerhalb der Zylinderfläche ist die Situation eine etwas andere: Dort vertauschen radiale und Achsenrichtung ihre Rolle. Außerhalb des Zylinders ist Bewegung in die radiale Richtung nicht eingeschränkt. Innerhalb des Zylinders gilt das gleiche für Bewegung in Achsenrichtung. Außerhalb des Zylinders definiert die Achsenrichtung eine Einbahnstraße: Jegliche Bewegung muss eine Aufwärtskomponente einschließen. Innerhalb des Zylinders gilt entsprechendes für die radiale Richtung: Jeder Objektpfad muss eine merkliche radiale Bewegung nach innen einschließen.

Was sind die Konsequenzen der neuen Regeln? Außerhalb der Zylinderfläche ändert sich nichts; die erlaubten Pfade sind dieselben wie zuvor. Doch sobald ein Objekt ins Innere der Zylinderfläche gerät, ist es verloren – von dort an muss seine Bewegung immer weiter ins Innere führen. Insbesondere heißt dies, dass kein Objekt, das in die Zylinderfläche geraten ist, jemals wieder hinauskann: Der obligatorische radiale Bewegungsanteil wird das Objekt immer weiter auf die Mittelachse zu führen. Hier sind einige Beispiele für erlaubte Bewegungen in der und um die Zylinderfläche herum:

Der lila Pfad beispielsweise führt das Objekt etwas von der Mittelachse weg, dann wieder etwas näher heran, dann wieder etwas weiter weg. Doch sobald der Pfad die Zylinderfläche durchdringt, besteht diese Wahlfreiheit nicht mehr – der Rest des Pfades führt das Teilchen stetig weiter nach innen.

Solange der türkise Pfad noch außerhalb der Zylinderfläche liegt, führt er stets aufwärts, entsprechend unserer außerhalb des Zylinders geltenden Verkehrsregel. Innerhalb der Zylinderfläche angekommen gelten andere Regeln; das hier gezeigte Teilchen bewegt sich dort sogar wieder etwas nach unten.

Für Pfade, die außerhalb des Zylinders bleiben, wie den gelben Pfad, hat sich nichts geändert. Alle Teilchen außerhalb des Zylinders müssen sich stets auch etwas in Aufwärtsrichtung bewegen.

Allerdings bringt unsere neue Regel ein Problem mit sich. Sobald ein Objekt die Achse erreicht, steckt es (und stecken wir) fest. Auf der Achse gibt es keine Möglichkeit, sich noch weiter nach innen zu bewegen – was also kann ein solches Objekt tun? Es gibt keine Möglichkeit, den Objektpfad der Regel entsprechend fortzusetzen. Wir müssen solch ein Objekt ganz aus dem Spiel nehmen – nur so können wir eine Regelverletzung vermeiden. Das ist keine sehr befriedigende Lösung; offenbar ist die Achse ein Ort, an dem unser Modell an seine Grenzen stößt.

Eine dunkle Analogie

Soweit zum Raum. Was sagen die neuen Verkehrsregeln über die analoge Raumzeit-Situation? Wir halten uns an dieselbe Übersetzungsregel wie zuvor: Die Einbahnstraßen-Richtung identifizieren wir mit der Zeitrichtung. Alle anderen Richtungen sind Raumrichtungen. Außerhalb des Zylinders ist die Zeitrichtung die Achsenrichtung. Von außen gesehen sieht die Zylinderfläche wie die Oberfläche eines Raumvolumens aus: Zu jeder Zeit (auf jeder entlang der Achse gemessenen konstanten Höhe) teilt der Zylinder den Raum (die Ebene senkrecht zur Mittelachse auf dieser Höhe) in ein Innen und ein Außen. Eine solche Ebene ist in dieser Abbildung eingezeichnet; die Grenze, die das Innen von Außen trennt, ist rot dargestellt:

Im Inneren des Zylinders ist alles ganz anders. Die Zeitrichtung – die Einbahnstraße – ist hier die radiale Richtung. Die Achsenrichtung ist hier eine ganz normale Raumrichtung. In gewisser Weise haben Zeit und Raum ihre Rollen vertauscht!

Das hat dramatische Konsequenzen dafür, wie sich Objekte mit der Zeit bewegen. Außerhalb der Zylinderfläche ist alles wie zuvor. Doch sobald ein Objekt in den Zylinder gelangt, ist es gefangen. Ein Verharren in konstantem Abstand von der Mittelachse oder ein Verlassen der Zylinderfläche ist für solch ein Objekt ebenso unmöglich, wie in der Zeit stehenzubleiben oder gar zurückzureisen. Sobald ein Objekt in die Raumregion vorgedrungen ist, die durch den Zylinder begrenzt wird, kann es diese Region niemals mehr verlassen. Der Zylinder ist die Grenzfläche (der Horizont) eines Schwarzen Lochs.

So unerbittlich, wie Zeit vergeht, muss jedes Objekt im Zylinderinneren sich hin zur Mittelachse bewegen. Einmal dort angekommen, geht alles schief: Weder kann das Objekt sich von hier aus weiterbewegen, noch kann es, ohne die Verkehrsregel zu verletzen, stehenbleiben: Würde es einfach geradeaus weiterfliegen, würde es sich wieder von der Achse entfernen, und solche Bewegung – rückwärts in der Zeit – ist strengstens verboten. Auch auf der Achse kann das Objekt nicht bleiben: Bewegung nach Innen ist vorgeschrieben! Die Achse ist das Analogon der Singularität im Inneren eines Schwarzen Lochs. Sowohl in unserem vereinfachten Modell wie auch in dem vollständigeren theoretischen Rahmen, den Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie liefert, erweist sich unsere Beschreibung von Raum und Zeit an dieser Stelle als unzureichend. In irgendeiner Weise verschwinden Objekte, die die Singularität erreichen, von der Bildfläche. (Weitere Informationen über Singularitäten liefert das Vertiefungsthema Raumzeitsingularitäten.)

Warum ein Schwarzes Loch keinen Mittelpunkt hat

Mit Hilfe unserer Analogie lässt sich ein häufiges Missverständnis über Schwarze Löcher aufklären. Ist von einem kugelsymmetrischen Schwarzen Loch die Rede, das von einer Horizontfläche begrenzt wird und eine Singularität enthält, dann dürften sich die meisten Leser solch ein Gebilde im Querschnitt so vorstellen wie hier skizziert:

Dabei stellt die Kreislinie den Horizont dar, und in der Mitte des Schwarzen Loches ist ein Punkt eingezeichnet: die Singularität.

In unserem dreidimensionalen Modell kommt man auf dieses Bild, wenn man senkrecht zur zentralen Achse eine Schnittebene durch den Raum legt: Die Schnittkurve des Horizont-Zylinders mit der Ebene ist die Kreislinie, und mit der Singularitäts-Achse schneidet sich die Ebene in genau einem Punkt. Aber liefert uns das tatsächlich eine Momentaufnahme, auf der die innere Struktur des Schwarzen Lochs sichtbar wird?

Nicht ganz. Nur außerhalb der Zylinderfläche entspricht eine solche Schnittebene einem Schnappschuss, der den Raum zu einem bestimmten Augenblick zeigt. Innerhalb des Zylinders haben Raum und Zeit die Plätze getauscht. Dort zeigt der Schnitt etwas weit merkwürdigeres, nämlich eine Art kaleidoskopischer Kombination von vielen verschiedenen Zeiten. Schließlich entspricht die Zeitrichtung innerhalb des Zylinders nicht mehr der Achsenrichtung, sondern der radialen Richtung, und all die unterschiedlich weit entfernten Punkte der Ebene, die der Schnitt erfasst, entsprechen unterschiedlichen Zeitpunkten. Anstatt uns die räumliche Struktur des Schwarzen Lochs zu zeigen, zeigt der Schnitt – und damit die obige Skizze – eine eigenartige Mischung aus Raum und Zeit!

Eine weitere Facette des Missverständnisses ist ebenso naheliegend, wenn man an den unaufhaltsamen Kollaps etwa der Zentralregion eines Sterns denkt, der zum Schwarzen Loch wird. Sie betrifft die Vorstellung, dass letztendlich alle Masse des Sterns an einem einzigen Raumpunkt endet – eben in der Singularität. Doch auch dieses Bild von einer Raumpunkt-Singularität im Zentrum des Schwarzen Loches ist falsch. In unserer Analogie kann man sehen, warum. Dort ist die Singularität die gesamte blaue Achse – und die repräsentiert, zumindest im Inneren des Zylinders, eine Raumrichtung. Die Singularität ist damit kein Raumpunkt, sondern ein unendlich ausgedehntes Gebilde!

Das ist ausnehmend merkwürdig. Von außen wird das Schwarze Loch – die Region im Inneren des Horizonts – von einer Kugelfläche begrenzt (in unserem vereinfachten Modell mit nur zwei Raumdimensionen von einer Kreislinie). Doch in dieser Kugel, die nur einen endlichen Flächeninhalt besitzt, kann man anscheinend unendlich große – unendlich weit räumlich ausgedehnte – Objekte „verstecken“. Wie kann das funktionieren? Es funktioniert einmal mehr aufgrund des Rollentauschs von Raum und Zeit. Unser einfaches Modell entspricht einem ewigen Schwarzen Loch, also einem Schwarzen Loch, das schon immer da war und bis in alle Ewigkeit weiter existieren wird. Von außen gesehen ist das Schwarze Loch damit unendlich ausgedehnt in der Zeit, aber räumlich gesehen nur von endlicher Größe. Im Inneren ist es gerade anders herum: Die Zeit ist dort nur von endlicher Länge (sie beginnt am Horizont und endet in der Mitte an der Achsen-Singularität), aber dafür ist nun eine der Raumdimensionen, nämlich diejenige, die der Achsenrichtung entspricht, unendlich lang.

Falls Sie Probleme haben, sich diese Mixtur von Zeit und Raum genauer vorzustellen: Den Physikern geht es dabei genauso. Glücklicherweise haben die Physiker die Mathematik als eine Sprache, in der sich die Eigenschaften einfacher Schwarzer Löcher sehr genau formulieren lassen. An den mathematischen Ergebnissen orientiert, können sie Raumzeiten, die Schwarze Löcher enthalten, bis ins Einzelne erkunden.

Die Grenzen der Analogie

Unsere Analogie ist nicht perfekt. In der Analogie tauschen Raum und Zeit ihre Rollen ganz plötzlich, wenn wir die Zylinderfläche überqueren. In den Modellen der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Zeitrichtung dagegen mehr und mehr nach innen gebogen, wenn man sich dem Schwarzen Loch nähert. Gerade dort, wo sie stark genug verbogen ist, dass sich Objekte zwangsläufig nach innen bewegen müssen, befindet sich der Horizont.

Außerdem handelt es sich bei dem Schwarzen Loch, das unser Modell nachbilden will, um ein besonders einfaches Exemplar, nämlich um ein kugelsymmetrisches Schwarzes Loch. Solche Löcher werden Schwarzschild-Löcher genannt, nach Karl Schwarzschild, der im Jahre 1915 erstmals die Gleichungen niederschrieb, die solch ein Schwarzes Loch definieren. Es handelt sich bei diesen Gleichungen um Lösungen der Einstein’schen Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie. (Allerdings dauerte es danach noch über vierzig Jahre, bis die Physiker verstanden, welch merkwürdige Raumzeitgeometrie aus Schwarzschilds mathematischen Ausdrücken folgt!) Wie bereits erwähnt, handelt es sich um ein ewiges Schwarzes Loch, das schon immer da war und immer weiter existieren wird. Realistischere Schwarze Löcher, etwa diejenigen, die beim Kollaps eines massereichen Stern entstehen, haben dagegen einen festgelegten Entstehungszeitpunkt. Auch der Umstand, dass ein Schwarzes Loch rotiert – auch das ist bei realistischeren Exemplaren zu erwarten – macht die Situation deutlich komplizierter.

Von diesen Einschränkungen abgesehen ist die Analogie recht gut, und sie gibt  Schlüsseleigenschaften von Raumzeiten wieder, die ein Schwarzes Loch enthalten: den Rollentausch von Raum und Zeit und die sich daraus ergebenden Konsequenzen.

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